Etude sur la tension minimale de batterie U (Volts) pour délivrer une puissance donnée W(Watts),
ainsi que du coefficient de propulsion K (N/A) alors adapté à soutenir la vitesse V (m/s) du véhicule.
et optimisation de la consommation électrique pendant les phases d'accélération.

Sommaire:
1-tension minimale (volts) pour assurer la propulsion du véhicule électrique.
2-analogie hydraulique d'un élément de batterie
3-équilibrage entre deux éléménts branchés en parallèle
4-divergence des tensions pour deux éléments débitant en série.
5-confirmations expérimentales.
6-association série ou parallèle d'élements de batterie ou de moteurs.
7-calculateur simplifié pour étude de la consommation électrique en accélération.
8-Détermination de la distance minimale d'accélération pour un rendement donné.
9-Véhicule Terrestre à Propulsion Eolienne cliquer

1-Evaluation de la tension minimale nécessaire pour un véhicule électrique.
Soient V(m/s) la vitesse du véhicule, F(N) la force de propulsion qu'il requiert et R(ohms) la résistance du circuit électrique (résistance interne de la batterie + résistance des cables de liaison avec le moteur + résistance du dispositif de commutation + résistance des bobinages du moteur, les pertes par courants de Foucault étant faibles pour ce type de moteur DC à aimants permanents : quand un bobine fabrique un pôle + un aimant de pôle - s'en rapproche et limite la variation de flux : ces pertes n'interviennent que faiblement quand la vitesse du moteur s'approche de sa limite à vide), la tension de batterie U(volts) est de la forme :

U=R.I+K.V avec I=F/K

I(A) désignant l'intensité du courant qui circule dans les bobines du moteur.

U= F.R/K + V.K

K(V/m/s) désignant le coefficient de force contre électromotrice de l'ensemble moteur+réducteur (qui constitue le propulseur du véhicule), exprimé en volts par m/s de vitesse.

La valeur de K qui minimisera la tension de batterie U nécessaire correspond à :

K.K= R.F/V

la valeur minimale de la tension de batterie s'exprimant alors par :

Umin.Umin= 4.R.F.V = 4.R.W

Par exemple pour un véhicule qui a besoin d'une poussée de 100 N à la vitesse de 10 m/s (soit une puissance W = 1000 watts), avec une résistance ohmique du circuit de 1 ohm, la tension minimale des batteries Umin sera de :

Umin.Umin= 4000 soit Umin= 63 volts

et le coefficient de force contre-électromotrice K exigé de :

K.K = 10 soit K= 3.2 volts par m/s, soit 0.88 Volts par km/h

Le rendement du moteur vaut :
rho=W/(U.I)= K².V²/(K².V²+R.W) et la tension U vaut:
U=K.V+R.W
On en déduit que le carré de la tension U² vaut :
U²=R.W/rho/(1-rho), qui est minimum pour rho=0.5, et que le coefficent d'efficacité du moteur (rapport entre la force contre-électromotrice en volts et la vitesse V du véhicule) vaudra :
K=rho.U/V
Dans la pratique on ne se contente pas d'un rendement de 0.5 (soit 50%) et on cherche plutôt en régime nominal de se rapprocher d'un rendement de 0.8.
L'expression de la tension nécessaire à obtenir du moteur une puissance W(watts) quand la résistance du circuit électrique est R(ohms) devient :
U²=R.W/0.16
et celle de l'efficacité nécessaire pour soutenir la vitess V :
K=0.8 U/V

W=100 watts ----> U=25 Volts (pour R= 1 ohm) et K=0.8 Volts par km/h (pour V=25 km/h)
W=250 watts ----> U=41 Volts (pour R=1 ohm) et K=1.3 Volts par km/h (pour V=25 km/h)
W=500 watts ----> U=56 Volts (pour R=1 ohm) et K=1.8 Volts par km/h (pour V=25 km/h)
W=1kilowatt ----> U=79 Volts (pour R=1 ohm) et K=2.5 Volts par km/h (pour V=25 km/h)

Le couple électrochimique d'un élément de batterie varie de 1.2 volts (éléments au nickel) à 5 volts au maximum (hydrogène), en passant par 2 volts pour l'élément au plomb, 3.2 volts pour celui au lithium phosphate de fer et 4.2 volts pour le lithium polymère.

Il est donc en général nécessaire de recourir au branchement en série de plusieurs éléments pour obtenir la tension requise, les résistances ohmiques du circuit étant imposées par la technologie est les coûts, et bien que, comme nous l'exposons ci-dessous, cette association en série des éléments impose une surveillance particulière pour augmenter la longévité de la batterie (dispositifs bms ou pcb), et ce d'autant plus que les éléments sont produits à faible coût ce qui ne permet pas de garantir une parfaite similitude de leurs caractéristiques de capacité élémentaire dans le temps.

2-Représentation d'un élément de batterie par analogie hydraulique.
Les batteries au plomb sont constituées d'éléments symétriques : Deux plaques de plomb sont plongées dans une solution d'acide sulfurique dilué, la différence de potentiel entre les deux plaques est alors nulle. Si l'on applique une tension continue d'au moins 2 volts entre les deux plaques, l'une se recouvre d'oxyde de plomb : On dit que la batterie se charge, et une différence de potentiel apparait entre une des plaques (cathode plomb) et l'autre (anode oxyde de plomb). La quantité d'oxyde de plomb déposée sur l'une des plaques définit le niveau de charge et la tension de l'élément.Ce niveau peut-être représenté comme celui d'un liquide dans un tube vertical.

3-equilibrage par branchement en parallèle sur une charge R.
On désigne ainsi le raccordement des bornes de même polarité : Par effet de vases communiquants, le niveau de tension tend à devenir le même pour les deux éléments, même si les niveaux de départ sont différents, ou si un élément est de plus forte capacité que l'autre.
Si les deux éléments sont de même capacité, que l'un est presque compètement chargé et l'autre presque vide, le niveau final pour les deux éléments est voisin de la demi-capacité.
Si un élément est de capacité beaucoup plus grande que l'autre il perd très peu de capacité pendant l'équilibrage alors que la tension de l'élément de faible capacité rejoint pratiquement celle de départ de l'élément de grande capacité.

4-inversion de polarité dans le cas d'un branchement en série sur une charge R.
Lorsque l'on met le second élément en série au lieu de parallèle, et s'il est chargé positivement il correspond alors à un niveau hydraulique négatif.
Sur les figures ci-dessous on voit que le déséquilibre initial peut-être suffisant pour que l'état d'équilibre final corresponde à une inversion de polarité de l'élément le plus faible.

Pour une batterie symétrique à électrodes réversibles comme la batterie au plomb ceci ne devrait pas en théorie être irrécupérable si l'on pouvait recharger les éléments individuellement - ce qui n'est pas le cas, les batteries plomb étant souvent présentées en packs de 12 volts, soit 6 éléments en série et non démontables -, mais surtout en pratique lorsqu'un élément voit sa tension s'abaisser autour de 0 volts la densité de l'électrolyte en sulfate de plomb devient très élevée et celui-ci a tendance à se cristalliser sous une forme particulièrement isolante et qui se dépose sur les plaques.
L'inversion de polarité risque d'être encore plus redoutable sur les batteries non symétriques au nickel (on dit que la moindre décharge d'un élément au nickel alors qu'il est à l'état déchargé le met hors d'usage) ou au lithium (on dit qu'un élément devient hors d'usage si sa tension descend au dessous de 2.1 volts).
Pour cette raison, et particulièrement pour les batteries au lithium qui sont les plus onéreuses à l'achat, des systèmes électroniques ayant pour buts notamment d'équilibrer les éléments au même niveau de tension en fin de charge et de couper le circuit de batterie si un des éléments vient à descendre au-dessous de la tension de 2.1 volts, et appelés bms (batterie monitoring system) ou pcb sont généralement proposés avec ces batteries, auxquelles ils se raccordent par un faisceau de n+1 fils s'il y a n éléments, et qui prélèvent les valeurs des tensions aux points de jonction entre éléments consécutifs en série.
nb:Une liaison à 2n conducteurs (deux câbles par élément de batterie entre batterie et bms) permettrait de gérer plus finement chacune des cellules de la batterie .

4-Confirmations expérimentales :
4.1 - équilibrage en parallèle
Si l'on branche "en parallèle" (relier entre eux les pôles de même signe) et pendant quelques heures deux piles de 1.5 volts nominaux l'une étant moins usagée que l'autre par exemple l'une à 1.4 volts et l'autre à 1.2 volts, on constate que au moment où on les sépare les deux tensions sont proches de la moyenne de 1.3 volts (la pile la moins usagée à "rechargé" la plus usagée).
4.2 -Inversion de polarité en série
Si l'on fait débiter pendant longtemps avec un très petit courant deux de ces mêmes éléments de pile alcaline par exemple dans un appareil photo numérique non utilisé pendant un certain temps, et lorsque l'on retire ces piles on constate que l'une des deux a encore une tension positive alors que la seconde a déjà une tension négative (inversion de polarité).
4.3 -Packs de batteries au plomb.
4.3.1 : Lorsque la tension de 24 volts nominale est obtenue avec deux packs de 6 éléments de 2 volts et que le véhicule ne fonctionne à pleine puissance juste après recharge que pendant quelques centaines de mètres, puis devient mou ensuite, et que l'on vérifie la tension des deux packs on a la surprise de les trouver tous deux à leur tension de départ en fin de charge, légèrement inférieure à 13 volts.
Mais si on les teste au moyen d'un ampoule de voiture de 12 volts on s'apercçoit que l'un des packs éclaire correctement, alors que l'autre n'éclaire pas du tout et ne délivre aucun courant, bien que la tension mesurée au voltmètre soit correcte, ce qui signifie que sa capacité est nulle et sa résistance interne très élevée : La mesure des tensions n'est pas suffisante pour s'assurer de l'état d'un élément de batterie.
4.3.2 : Lorsque l'on fait un essai de décharge d'un tel ensemble de deux packs usagés de 12 volts en série, par exemple au moyen d'un convertisseur 24 V DC ---> 230 V AC pour alimenter une lampe prévue pour le courant du secteur, on constate que l'alarme de batterie faible du convertisseur retentit au moment ou la tension de l'un des packs s'abaisse brutalement de 2 volts (passe de 12 volts à 10 volts pendant la décharge), ce qui signifie que l'un de ses éléments de 2 volts commence alors à se recharger "à l'envers" en puisant le courant débité par le pack encore valide et abaissant la tension de l'ensemble au fur et à mesure qu'il inverse sa polarité.

6-Règles d'association série ou parallèle pour éléments batteries ou moteurs.

6-1 :Les caractéristiques d'un élément de batterie étant :
-la tension nominale en volts
-la résistance interne en ohms
-la capacité maximale de charge électrique en coulombs (1 ampèreheure= 3600 Coulombs)
-la contenance maximale énergétique en Joules (1 wattheure = 3600 Joules)
(la contenance énergétique est le produit de la tension nominale par la capacité )

-6-1-1 : Si l'on met deux éléments identiques en parallèle on obtient l'équivalent d'un seul élement dont:
-La tension nominale est la même que celle de chaque élément
-La résistance interne est la moitié de celle de chaque élément
-La capacité en coulombs est le double de celle de chaque élément
-La contenance énergétique en Joules est le double de celle de chaque élément
-6-1-2 : Si l'on met deux éléments identiques en série on obtient l'équivalent d'un élément dont :
-la tension nominale est le double de celle de chaque élément
-la résistance interne est le double de celle de chaque élément
-la capacité en coulombs est la même que celle de chaque élément
-la contenance énergétique en Joules est le double de celle de chaque élément

6-2 : Les caractéristiques d'un moteur élémentaire étant :
-La résistance ohmique (ohms)
-Le coefficient d'efficacité (volts par m/s ou Newtons/Ampère)
(1 volt par m/s = 3.6 volts par km/h, 1 wattheure/km = 3.6 Newtons)
et si l'on accouple sur le même arbre deux moteurs identiques
-6-2-1 : En les alimentant en parallèle on obtient l'équivalent d'un seul moteur dont:
-La résistance ohmique est la moitié de celle de chaque moteur
-Le coefficient d'efficacité est le même que celui de chaque moteur
-6-2-2 : En les alimentant en série on obtient l'équivalent d'un seul moteur dont :
-La résistance ohmique est le double de celle de chaque moteur
-Le coefficient d'efficacité est le double de celui de chaque moteur.

6-2 : Le moteur dc basse tension :
On pourrait associer parallèle plusieurs éléments de batterie et plusieurs moteurs élémentaires de manière à obtenir un moteur qui fonctionne à la tension élémentaire de la batterie. Ce moteur devrait utiliser un grand nombre de commutateurs, ou un commutateur acceptant un fort courant, et il aurait un grand encombrement. Néanmoins un essai a été réussi au Japon pour accélérer un véhicule sous une faible tension électrique (1.5 volts). Il n'est pas exclu de revenir à des tensions faibles en fonction des progrès des techniques de commutation électroniques, ou si la mise en série de nombreux éléments de batterie s'avérait délicate. Pour le moment la tendance est plutôt de s'orienter vers les tensions de plus en plus élevées.
Si l'on alimente n moteurs de coefficients unitaires K (volts par kmh) et R (ohms) accouplés sur le même arbre avec la tension U (volts), la puissance maximale de (U.U)/(4.R) va se trouver sera divisée par n si la tension d'alimentation est aussi divisée par n : Si l'on veut conserver la même puissance avec une tension moitié il faudra mettre sur le même arbre non pas deux moteurs mais quatre, tout en adoptant un rapport de réduction n fois plus faible.
Une autre méthode pour réduire la tension d'alimentation est de conserver un seul moteur, avec le même rapport de réduction, mais alimenter les spires des bobines en parallèle au lieu de les laisser en série : Si on découpe une bobine de n spires pour alimenter chaque spire individuellement avec la tension initiale U divisée par n, le courant dans la bobine reste le même et les performances du moteur inchangées.

7-calculateur simplifié du rendement de l'accélération électrique du véhicule.
Calculateur d'accélération (javascript)
On se donne la distance d'accélération Xf, la durée d'accélération tf et la vitesse à atteindre en fin d'accélération Vf.
On démarre à t=0 et à vitesse nulle.
La loi de vitesse sera de la forme :
V(t)=a.t+b.t.t+c.t.t.t
Les données xf, tf, vf et c permettent de calculer les coefficients a et b
En cliquant sur le bouton "calculer" les résultats suivants apparaissent :
confirmation de la vitesse finale et de la distance parcourue.
Puissance mécanique en fin d'accélération.
Intensité, tension et puissance électriques en fin d'accélération.
Energie électrique consommée, Energie cinétique du véhicule et rendement de l'accélération du véhicule.
Confirmation du coefficient d'efficacité moteur (exprimé en Vh/km ou en N/A=Vs/m)
On peut également modifier le coefficient c de la loi de vitesse pour étudier son influence sur le rendement.

Principe du calcul : On considère qu'il n'y a pas de résistance aérodynamique ni de résistance au roulement et que la pente du terrain est nulle.
La force de propulsion k.i (k coefficient d'efficacité du moteur électrique en Newtons par Ampère, i intensité du courant moteur en ampères) vaut alors m.dV/dt, d'où: i=m/k.dV/dt
et la tension u(volts) aux bornes du moteur vaut :
u=k.v-r.i
où r(ohms) désigne la résistance ohmique du circuit électrique (résistances interne batterie, dispositif de commutation, cables de connexion, bobinages du moteur).
La puissance électrique w consommée à l'instant t vaut u.i (watts) et l'énergie électrique E(Joules) consommée entre 0 et t résulte de l'intégration de w(t).
L'énergie mécanique apportée au véhicule vaut m.v.v/2 (énergie cinétique ou force vive).
On appelle rendement de l'accélération électrique du véhicule le rapport entre la force vive du véhicule et l'énergie électrique dépensée pour l'obtenir.
Ce calculateur a principalement pour but de démontrer que les fortes accélérations au démarrage ne sont pas plus gratuites avec la propulsion électrique qu'elles ne le sont avec les moteurs thermiques, en dépit des affirmations les plus répandues.

Commentaires sur les résultats Se fixant la valeur de vitesse à atteindre à 25 km/h, on a d'abord fixé la valeur de distance d'accélération à 100 m, parcourus en 30 secondes.
On obtient un rendement de 65% entre l'énergie cinétique recue par le véhicule et l'énergie électrique consommée.
On a ensuite fait varier la valeur du coefficient c de la loi de vitesse (sensible au cube du temps) pour constater que la valeur optimale était nulle
On a ensuite fait varier la valeur du temps disponible pour l'accélération, pour constater que le rendement atteignait 68% à partir du temps de 40 secondes.
Au-delà de ce temps le rendement reste à 68%, mais l'on constate que le véhicule commence par reculer avant d'accélérer (il a trop de temps et pas assez de distance), le rendement n'est pas altéré car le véhicule rattrape la dépense pour reculer en allant plus vite ensuite(meilleur rendement du moteur électrique).
Pour un temps d'accélération en 100 mètres jusqu'à 25 km/h en limitant cette fois la durée du parcours à 25 secondes, le rendement chute à 60%, et même 45% pour une durée de 20 secondes.
Au-dessous de la durée de 25 secondes le véhicule manque de temps pour accélérer : Il doit accélérer fort au début et freine en fin de trajectoire (le calculateur considère que l'énergie de freinage est récupérée dans la batterie au rendement de la "dynamo" près : une partie de l'énergie de freinage étant dissipée en chaleur dans les résistances ohmiques du circuit).
On a ensuite étudié l'influence de la distance disponible pour atteindre les 25 km/h, en se plaçant à chaque fois sur la durée d'accélération qui correspond aux coefficients a et c de la loi de vitesse (v=a.t+b.t.t+c.t.t.t) nuls donc une loi de vitesse proportionnelle au carré du temps v=b.t.t pour obtenir les résultats suivants:
X=50 mètres ---> durée 21 sec, b=0.015 , consommation 1.31 wh, rendement 51%
X=100 mètres --> durée 43 sec, b=0.004 , consommation 0.99 wh, rendement 68%
X=200 mètres --> durée 87 sec, b=0.001 , consommation 0.83 wh, rendement 81%
On vérifie bien que plus on veut atteindre rapidement la vitesse finale de 25 km/h et plus on consomme d'énergie électrique.
La dépense d'énergie pour accélérer jusqu'à 25 km/h, de l'ordre de 1 wh, est faible par rapport à la consommation d'un cycle à pédalage assisté en croisière, par exemple à la vitesse de 7 m/s(25.2 km/h) la résistance de l'air vaut environ 024*49=12 N et la résistance du sol au roulement 10 N, soit une puissance de 22*7=150 watts, donc 150/25=6 wh/km, soit encore 150 wh pour une autonomie de 1 heure ou 25 km.
Cependant si les accélérations sont nombreuses sur le parcours on peut réduire la consommation d'accélération en lançant le vélo en mode musculaire avant de faire démarrer le moteur, et ensuite adopter une loi d'accélération croissante (vitesse proportionnelle au carré du temps, donc accélération proportionnelle au temps).

8-Calcul de la distance minimale d'accélération pour un rendement donné.
Les conclusions précédentes conduisant à choisir des coefficients de développement limités nuls pour a(terme en t) et c (terme en ttt), les équations se simplifient :
V=b.t.t (vitesse à l'instant t)
i=2.m.b.t/k (intensité du courant)
u=k.v+r.i=k.b.t.t+2.r.m.b.t/k (tension aux bornes du moteur)
u.i=2.m.b.b.t.t.t+4.r.m.m.b.b.t.t/k/k = m.b.b.(2.t.t.t+4.r.m.t.t/k/k) (Puissance électrique consommée )
Sui=m.b.b.(t.t.t.t/2+4.r.m.t.t.t/3k/k) = mbbttt(3kkt+8rmt)/6kk (Energie électrique consommée)
Ec=m.V.V/2=m.b.b.t.t.t.t/2 (Energie cinétique acquise par le véhicule)

re=Ec/Sui=t/(t+tau) avec tau=(8.r.m)/(3.k.k)

Par exemple pour m=100 kg, r=1 ohm et k=3.6 N/A (soit 1 Volt par km/h) la constante de temps tau vaut 20 secondes.

Pour une durée d'accélération de quatre constantes de temps : t=4 tau, soit 80 secondes le rendement re vaudra 4/5=80 % et la distance parcourue en accélération vaudra X=V.t/3, soit X=7*80/3=186 mètres pour une vitesse de V=7 m/s (25.2 km/h) en fin d'acccélération

Si l'on se contente d'une durée d'accélération de moitié (soit 40 secondes) avec une distance d'accélération également divisée par deux (soit 93 mètres) le rendement (énergie cinétique du véhicule rapportée à la consommation d'énergie électrique) tombe à 2/3= 67%, et à 50% pour une durée de 20 secondes sur 46 mètres.

L'énergie cinétique acquise par le véhicule de masse 100 kgs en fin d'accélération à la vitesse de 7 m/s (25 km/h) vaut m.v.v/2=100.7.7/2=2450 Joules=(2450/3600)= 0.68 wattheures .

Passer du rendement de 50% à celui de 80% fait économiser le tiers de cette énergie, soit 0.25 wh environ, ce qui est relativement faible par rapport à l'énergie totale contenue dans la batterie, de l'ordre de 200 à 300 wattheures pour une batterie de 24 ou 36 volts avec une capacité de 10 ah).

Au-dessous du rendement de 50%, c'est à dire lorsque l'accélération demandée est trop importante, ce rendement tend rapidement vers zéro et la consommation électrique devient dissuasive.

On peut donc se fixer comme règle de ne pas trop écourter la durée de l'accélération au-dessous de la constante de temps :
tau (s) = (8.r.m)/(3.k.k)
qui dépend de la résistance r (ohms) du circuit électrique, de la masse m (kg) du véhicule et de l'efficacité k (N/A) de conversion électrocinétique du moteur.

La longueur X(m) du parcours d'accélération nécessaire pour atteindre la vitesse v (m/s) est alors de :
X= v.tau/3 = v.(8.r.m)/(9.k.k)
et la puissance électrique nécessaire en fin d'accélération W (watts) de :
W = v.v.(4.m)/(k.tau) = v.v.(3.k)/(2.r)

Dans la pratique, pour un vélo assisté par exemple, le cycliste peut facilement développer une force de propulsion musculaire du dixième de son poids, supérieure à 50 N (soit environ le poids de 5 kg) qui, sur une distance de 50 mètres, produira une énergie de 2500 Joules (environ 0.72 wattheures) soit une vitesse de sqrt(50)=7 m/s=25 km/h, sans avoir besoin d'utiliser l'assistance électrique et en contrant facilement la résistance au roulement qui ne dépasse pas le centième du poids du véhicule, et même une légère pente de montée.Pour des véhicules plus rapides il y aurait lieu également de tenir compte de la résistance de l'air fonction de ses caractéristiques aérodynamiques.
retour à l' éditorial 2009 de filomatin.